T-61.140 SKJ, 26.6.2003, klo 12-15, T2

A1)
a) A=jatkuva-arvoinen, D=diskrettiarvoinen,
X-X = ajan suhteen - voimakkuuden suhteen.
- analoginen x(t) A-A
- diskreettiaikainen x[n] D-A
- digitaalinen x[n] D-D, esim. 8 bittiä = 256 tasoa

b) "Matemaattisesti", "vakiokertoiminen lineaarinen
differenssiyhtälö <=> LTI", "LTI <=> vain vakiolla
kertominen, viivästys, signaalien summaus". 
Esimerkkejä: ...

B1)
a) ei, koska...
b) ei, koska...
c) ei, koska...
d) ei, koska...
e) on, koska...
f) on, koska...

2)
h1[n] = d[n] - d[n-1] + 2d[n-2]
h2[n] =        d[n-1] - 3d[n-2]
a) hp[n] = h1[n]+h2[n] = d[n] - d[n-2]
b) hc[n] = h1[n]*h2[n] = SIGMA h1[k] h2[n-k]
         = h2[n] - h2[n-1] + 2h2[n-2]
         = d[n-1] - 4d[n-2] + 5d[n-3] - 6d[n-4]
c) yc[n] = hc[n] * x[n]
         = -d[n+2] + 4d[n+1] - 4d[n] + 2d[n-1] + 5d[n-2] - 6d[n-3]
d) Kausaalisuusehto: hc[n] = 0, kun n<0 --> on kausaalinen!

3)
a) h[n] = d[n] - 2d[n-1]
b) Stabiilisuusehto: SIGMA |h[n]| < oo, 
tässä tapauksessa SIGMA |h[n]| = |1| + |-2| = 3 < oo
--> on stabiili!
c) H(e^jw) = 1 - 2e^-jw
   w     : |H(e^jw)|
  ------------------------------------
   0     : |1-0|               = 1
   pi/4  : |1-2(0.71-0.71j)|   = 1.47
   pi/2  : |1-2(0-j)|          = 2.24
   3pi/4 : |1-2(-0.71-0.71j)|  = 2.80
   pi    : |1-2(-1+0j)|        = 3
  ------------------------------------
Hahmotellaan pisteet 0..pi (0.. puoli näytteenottot.)
ja saadaan ylipäästösuodin.
d) y2[n] = x[n] - 2x[n-2]
H2(e^jw) = 1 - 2e^-j2w
   w     : |H2(e^jw)|
  ------------------------------------
   0     : |1-0|               = 1
   pi/4  : |1-2(0-j)|          = 2.24
   pi/2  : |1-2(-1+0j)|        = 3
   3pi/4 : |1-2(0+j)|          = 2.24
   pi    : |1-2(1+0j)|         = 1
  ------------------------------------
Nyt saadaan kaistanpäästösuodin!

4) Idea: y1 <-> y[n], y2 <-> y[n-1],
x1 <-> x[n], x2 <-> x[n-1], x3 <-> x[n-2].
a) y[n] = x[n] + 1.902 x[n-1] + x[n-2] + 0.95 y[n-1]
b) Y(e^jw)(1 - 0.95 e^-jw) = X(e^jw)(1 + 1.902 e^-jw + e^-j2w)
H(e^jw) = (1 + 1.902 e^-jw + e^-j2w)/(1 - 0.95 e^-jw) 
Saadaan hahmottelemalla alipäästösuodin (ei vaadittu).
c) 2
d) Joko raa'asti laskemalla ;-) tai sitten
käänteismuuntamalla taajuusvaste impulssivasteeksi,
helpoiten kaavakokoelmasta a^n u[n] <-F-> 1/(1-a e^-jw)
H(e^jw) = (1 + 1.902 e^-jw + e^-j2w)/(1 - 0.95 e^-jw) 
        = (1)/(1 - 0.95 e^-jw) +
          (1.902 e^-jw)/(1 - 0.95 e^-jw) +
          (e^-j2w)/(1 - 0.95 e^-jw) 
<--Fourier-->
h[n]    = 0.95^n u[n] + 
          1.902 0.95^(n-1) u[n-1] + 
          0.95^(n-2) u[n-2]
h[100]  = 0.95^98 (0.95^2 + 1.902 0.95 + 1)
        ~ 0.024

5) Jokainen kosini on piikki spektrissä kullakin taajuudella
a) Kolme piikkiä taajuuksilla 1000, 1500 ja 5000 Hz.
b) fs_min = 10 kHz, Ts = 0.1 ms
c) Esim. fs = 2500,
f1 = 1000 menee sellaisenaan,
f2 = 1500 laskostuu 1250-(1500-1250)=1000, "summautuu"
f3 = 5000 laskostuu 5000-2*2500 = 0, DC-komponentti.
Esim. fs = 2400,
f1 = 1000 menee sellaisenaan,
f2 = 1500 laskostuu 1200-(1500-1200)=900
f3 = 5000 laskostuu 5000-2*2400 = 200