[ Takaisin laskarisivulle | pääsivulle ]

K6, DL 9.3.2005, kevät 2005

YLEISTÄ

  • noudata palautusohjeita, kiitos! Jokainen tehtävä omalle A4-paperille (ei kääntöpuoleltakaan)
  • tehtävänannon edessä on usein koodi [Tx]. Tämä tarkoittaa, että samantyyppinen tehtävä on jaetussa "T-61.140 Esimerkkitehtäviä" -nipussa tehtävänumerossa x

Tehtävä 1

Tässä Omega == omega. Nyt analoginen signaali x(t), joten kulmataajuudet Omega = 2 pi f. Jos digitaalinen sekvenssi x[n], niin sitten normalisoitu kulmataajuus omega = 2 pi (f/f_s), kuten tehtävässä 3.

Huomaa, että a_2 = a_(-2)* ja a_1 = a_(-1)*, jolloin itse signaali on reaaliarvoinen, merkintä * tarkoittaa kompleksikonjugointia (x+yj)* = (x-yj) tai (r e^jA)* = r e^-jA.

Kääntäen: reaalinen signaali (esim. äänisignaali) tuottaa symmetriset itseisarvot |a_k| ja "antisymmetriset" kulmat <a_k.

Kertoimista a_1 ja a_(-1) tulee puhdas kosini taajuudella Omega_0. Sen sijaan kompleksisista kertoimista a_2 ja a_(-2) tulee kosini vaihesiirrolla ja taajuudella 2Omega_0.

Kerroin a_0 tuottaa keskiarvon (vakio).

x(t) = 2 sqrt(18) cos(10 pi t + pi/4) + cos(5 pi t) + 1

jossa tuo "vaikein kohta" on siis ottaa yhteen
sqrt(18) [e^-j(10pi t) e^-j(pi/4) + e^j(10pi t) e^j(pi/4)]
= sqrt(18) [e^-j(10pi t + pi/4) + e^j(10pi t + pi/4)]
= sqrt(18) [2 cos(10pi t + pi/4)]

Myös muita oikeita muotoja on olemassa.

Tehtävä 2

Kun jaksollinen x[n], niin F-kertoimet a_k ovat MYÖS JAKSOLLISIA samalla jaksolla N_0 = 3:

a_(-273) = a_(-273 + 3k) = a_0 = 0 (k=91)
a_2005 = a_(2005 + 3k) = a_1 = 3 (k=-668)
a_2 = 1

Näillä kertoimilla voidaan laskea jaksollinen sekvenssi:
x[0] = 4 = x[0 + 3k]
x[1] = -2 + 1.73j = x[1 + 3k]
x[2] = -2 - 1.73j = x[2 + 3k]

Jos sait tulokset, joka poikkeaa kertoimen 3 verran, niin eri lähteissä on F-sarja/käänteissarja (fft/ifft) laskennassa kerroin (1/N) toisilla puolilla.

Tehtävä 3

omega_0 = 2 pi Omega_0 / Omega_s 
        = 2 pi (2 pi f_0/ 2 pi f_s)
        = 2 pi (f_0/f_s)
        = 2 pi (1000/10000)
        = 0.2 pi
Puhdas kosini, ainoat nollasta poikkeavat kertoimet a_1 = a_(-1) = 0.5.

Tehtävä 4

Omega_0 = 4000 pi, eli suurin yhteinen tekijä. Tällöin saadaan
Omega_1 = 3 Omega_0
Omega_2 = 5 Omega_0
Omega_3 = 7 Omega_0

Perus(kulma)taajuus on se taajuus, jolla muut signaalin taajuudet voidaan esittää monikertoina. Demo #2

Siten täytyy olla Omega_0 <= min{12000; 20000; 28000}pi = 12000pi. Nyt siis Omega_0 = 4000pi.

Tehtävä 5

omega_0 = 0.2pi
N_0 = 10 
x[n] = 0.5 e^(j 0.2pi n + pi/8) + 0.5 e^(-j 0.2pi n + pi/8)
     = 0.5 e^(j pi/8)  e^(j omega_0) + 
       0.5 e^(-j pi/8) e^(-j omega_0)
a_1  = 0.5 e^(j pi/8)  =  0.4619 + 0.1913j = a_(11) = ...
a_(-1)=0.5 e^(-j pi/8) =  0.4619 - 0.1913j = a_(9) = a_(19) = ...

Tehtävä 6

w_0 = 2pi/N = 2pi/3
Reaalinen sekvenssi <=> symmetriset kertoimet a_k 
a_0 = keskiarvo = 1.33
a_1 = summakaavan mukaan 0.833 - 0.866j
a_2 = a_(-1) = a_1*

Tehtävä 7

Jaetussa laskarimateriaalissa [Tx] on tehtävä, jota voisi hyödyntää tässä. Voi toki integroidakin määritelmän mukaisesti.

[ Takaisin laskarisivulle | pääsivulle ]

http://www.cis.hut.fi/teaching/T-61.140/Laskarit/komm_K6_k05.shtml
t61140@cis.hut.fi
Wednesday, 16-Mar-2005 16:52:06 EET