T-61.3010 Digitaalinen signaalinkäsittely ja suodatus T-61.3010 Digital Signal Processing and Filtering ============================================================ RATKAISUJA / SOLUTIONS PART 1 ============================================================ ------------------------------------------------------------ (1) 1. välikoe, 20.10.2001 ------------------------------------------------------------ T-61.246 Digitaalinen signaalinkäsittely ja suodatus 1. välikoe, 20.10.2001 1. Väittämät a) Väärin. Esim. y[n] = (x[n])^3. Huom! LTI = Lineaarinen _ja_ aikainvariantti, ei vain lineaarinen. b) Väärin. Noilla ehdoilla all-pass, joka harvoin (ei koskaan) on lineaarivaiheinen. c) Oikein. Kausaalinen -> oo kuuluu ROC:iin. Navat yksikköympyrän sisäpuolella, jolloin yksikköympyrä kuuluu kausaalisen kanssa samaan ROC:iin. d) Väärin. H(z) = (1 + 0.5 z^-1 + 0.25 z^-2) / (1 - 0.5 z^-1), toisen asteen suodin, mutta vain yksi napa origon ulkopuolella. e) Oikein. Takaisinkytkentä -> IIR. f) Väärin. Kampasuotimella tehdään kaistanpäästö/estosuotimia. 2. Näytteenotto a) viiteen sadasosaan mahtuu kolme kosinin jaksoa alkaen -1:stä b) Kosinipiikki laskostuu 10 Hz:iin. c) 10 Hz komponentti 3. Toiseen asteen IIR-suodin. a) y[n] = w[n] - w[n-2] w[n] = x[n] - 0.64 w[n-2] b) 1 - z^-2 H(z) = ------------------ 1 + 0.64 z^-2 c) z = +- 0.8j, z = +- 1 d) Kaistanpäästö 4. Konvoluutio a) L_x + L_h1 - 1 = L_w L_w + L_h2 - 1 = L_y -> L{h1[n]} = 3, L{h2[n]} = 3 b) -> h_c[n] = delta[n] - 4delta[n-1] + 5delta[n-2] - 4delta[n-3] + delta[n-4] c) -> h_1[n] = delta[n] - delta[n-1] + delta[n-2] -> h_2[n] = delta[n] - 3delta[n-1] + delta[n-2] d) H_c(z) = (1 - z^-1 + z^-2)(1 - 3z^-1 +z^-2) z = 0.5 +- 0.866j, z = 0.382, z = 2.618 Ylipäästösuodin. ------------------------------------------------------------ (2) 2. välikoe, 12.12.2001 ------------------------------------------------------------ T-61.246 Digitaalinen signaalinkäsittely ja suodatus 2. välikoe, 12.12.2001 Osallistujia N = 266 Tehtävä 1. Väitteet a) OIKEIN y[n] = F(x[n] + Gy[n]), jos F:ssä viivettä... b) OIKEIN h[n] = ha(nT) = ha(n/fs) c) VÄÄRIN Ei laskostumista d) VÄÄRIN Gibbs-häiriön pinta-ala pysyy, "taaj.er." paranee e) VÄÄRIN n. 100-kert f) VÄÄRIN 2^15, 2^16 != 44100 g) OIKEIN Katkaisu, esim. lähekkäiset spektripiikit h) OIKEIN me = 0, esim. laskareissa Tehtävä 2. Näytteenottotaajuus 8 kHz -> 3*8 kHz a) L=3 -> L-1 = 2 ylimääräistä spektrikuvaa, "image". Keskikohdat 0, 8000, 16000, 24000 Hz (joista siis 8000 ja 16000 ylimääräisiä). b) Pitää alipäästösuodattaa (interpolation filter) ylimääräiset komponentit pois. Esim. wc = 4 kHz. Tehtävä 3. Analysoidaan kukin suodin muodostamalla siirtofunktio (jos tarpeen). Esim. (c):ssä x tulee aina viivästettynä, joten se ei sovi minkään muun kanssa. Kohdat (d) - (f) ovat suoria muotoja (II ja IIT). Eli siirtofunktion kertoimet pitäisi löytyä (IIR-puolessa vastakkaismerkkisinä). Näin ollen kohta (d) oli sama kuin rinnankytketty (a). Tehtävä 4. Tuttu laskareista. a) H_HP(s) = H_LP(Om/s) = s / (s + Om) b) Merk. A = tan(wT/2) = tan(pi fc/fs) = tan(pi 3200/8000) = tan(0.4 pi) fc on kulmataajuus, fs näytteenottotaajuus (2/T) (1-z^-1)/(1+z^-1) H(z) = H_HP(s)|{s,Om} = ------------------------------------ (2/T) (1-z^-1)/(1+z^-1) + (2/T) A ... ja supistellaan ... 1 - z^-1 = 0.245 ----------------- 1 + 0.5096 z^-1 c) Nolla z=1 eli w=0. Napa z=-0.5096 Tästä sitten napanollakuvio. Tehtävä 5. HUOM! Käsitellään vain napoja, jotka sijaitsevat kompleksikonjugaattipareina: (1 - p1 z^-1) (1 - p2 z^-2) = 1 - (p1+p2) z^-1 + p1p2 z^-2 p1+p2 = ... p1p2 = ... Kirjoitetaan molemmista siirtofunktiot H1(z) ja H2(z). Verrataan sitten, miten navat voivat asettua. Havaitaan, että eroja on (Example 9.1, Example 9.2 Mitrassa (2nd Edition)): ensimmäisessä napoja voi tulla tiheään matalille taajuuksille, muttei keskitaajuuksille. Toisessa taasen "ristikkohila", joka mahdollistaa tasaisemman napojen sijoittelun taajuudesta riippumatta. Voi myös alkaa tarkastelemaan kohta kohdalta. ------------------------------------------------------------ (3) Tentti / 2. välikoe, 18.12.2001 ------------------------------------------------------------ T-61.246 Digitaalinen signaalinkasittely ja suodatus Tentti / 2. välikoe, 18.12.2001 1a) y[n] = x[n] + 0.5 x[n-1] - 0.2 y[n-1] + 0.35 y[n-2] 1b) H(z) = (1 + 0.5 z^-1) / (1 + 0.2 z^-1 -0.35 z^-2) 1c) Stabiili napanollakuviotarkastelulla 1d) h[n] = (5/6) (0.5)^n u[n] + (1/6) (-0.7)^n u[n] 2a) kosini -- piikki 2b) T = 1/6 2c) 12 Hz:n komponentti vierastuu 8 Hz:ksi 2d) Esim. fs suuremmaksi, anti-aliasing 3a) OIKEIN Kts teht. 1 3b) OIKEIN Tyyppi 1, 2, 3, 4 -> h[n] == h[N-n] tms. 3c) VÄÄRIN h[n] = h_a(nT) 3d) VÄÄRIN Omega = tan(omega/2) 3e) OIKEIN yli 10 3f) VÄÄRIN eri ikkunoilla eri vaikutukset 3g) VÄÄRIN 2^15, 2^16 tasoa tms 3h) VÄÄRIN useita virhelähteitä -> suurempi varianssi 4) a = -1.5, b = 1 stabiilius, taajuuskohdan siirtyminen, suotimen muoto... 5a) Lin.vaih. alipäästös. 5b) Lin.vaih. kaistanestos. 5c) Amplitudivaste "upsampling"-teoriasta tai kompleksiluvun neliöjuuresta päättelemällä. 6a) Suorakaideikkuna H(z) = A [ -0.16 + 0.23z^-1 + 0.75 z^-2 + 0.23 z^-3 - 0.16z^-4 ] 6b) Hann-ikkuna H(z) = A [ 0.11 + 0.75 z^-1 + 0.11 z^-2 ] 6c) Esim. Gibbs, jyrkkyys, ... 7) Katsotaan kuvaajasta, sijoitetaan X(z), käänteismuunnetaan Y(z) -> y[n]. ------------------------------------------------------------ (4) Muunto, 1. välikoe, 12.11.2001 ------------------------------------------------------------ T-61.246 Digitaalinen signaalinkasittely ja suodatus 1. välikoe, Muunto, 12.11.2001 1a) VÄÄRIN (stabisuusehto) 1b) VÄÄRIN (jos signaalissa yli 22kHz, niin..) 1c) VÄÄRIN (signaalien kertominen ei ole LTI-operaatio) 1d) VÄÄRIN (lineaarisia ja _aikainvariantteja_ == LTI) 1e) OIKEIN (cos(3.2pi n) = cos(3.2pi n - 4pi n) = cos(-0.8pi n), parill.) 1f) VÄÄRIN 1g) OIKEIN 1h) OIKEIN (moving average) 2) N_1 = 24, N_2 = 16 -> N = 48 = 2*24 = 3*16 3) y[n] = -x[n+1] + x[n-1], lineaar., vakiokert. differenssiyht. == LTI 3a) OK 3b) OK 3c) EI 3d) OK 4b) y[n] = {_0_, -3a, 4a, 0, 0, -a} 4c) 4a = 1, -> a=1/4 5a) y[n] = Kx[n] - 1.2 y[n-1] - 0.72 y[n-2] 5b) H(z) = K/(1 + 1.2 z^-1 + 0.72 z^-2) 5c) Ei nollia, navat: z = -0.6 +- 0.6 j 5d) Vain kaksi napaa, huippu osuu varsin hyvin w=3pi/4, max = H(e^(j 3pi/4)) ------------------------------------------------------------ (6) 1. välikoe, 26.10.2002 ------------------------------------------------------------ T-61.246 Digitaalinen signaalinkäsittely ja suodatus T-61.246 Digital Signal Processing and Filtering 1. välikoe, 26.10.2002. 1st mid term exam, 26th October, 2002. 1a) h[n] = (h_1[n] * h_1[n]) * h_2[n] p[n] = h_1[n] * h_1[n] = delta[n] + 2 delta[n-1] + delta[n-2] L{h_2} = L{h} - L{p} + 1 = 3 h_2[n] = delta[n] - 2 delta[n-1] + 3 delta[n-2] 1b) y[n] = -2 delta[n+1] + delta[n] - 8 delta[n-2] -2 delta[n-3] + 3 detla[n-4] 2b) H(z) = (1 + z^-1) / (1 + 2a z^-1 + 2a^2 z^-2) 2c) z = -1, p = -a +- aj a = 0 -> LP, FIR a >~ 0 -> a <~ 1/sqrt(2) -> max w=3pi/4 a > 1/sqrt(2) -> unstable 3) 1:O 2:V 3:V 4:V 5:O 6:V 7:V 8:O 9:V 10:O 11:V 12:O 13:V 14:O 15:O 16:O 17:O 18:O 19:V 20:O 21:V 22:O 23:V 24:V ------------------------------------------------------------ (7) Harj.tentti, 2. välikoe, 3.12.2002 / 5.12.2002 ------------------------------------------------------------ T-61.246 Digitaalinen signaalinkäsittely ja suodatus T-61.246 Digital Signal Processing and Filtering Harjoitusvälikoe/Tentti Rehearsal mid term exam/Final exam 3.12.2002 / 5.12.2002 Some solutions. 1a) x[n]=1, period N=1? non-periodic? 1b) N=6 1c) N=126 2) 20 3a) y[n] = w[n] - w[n-2] w[n] = x[n] - 0.64 w[n-2] 3b) H(z) = (1- z^-2)/(1 + 0.64z^-2) 3c) Zeros z=+-1, poles z=+-0.8j, BP 3d) h[n] = (0.5 (-0.8j)^n + 0.5 (0.8j)^n) mu[n] - (0.5 (-0.8j)^(n-2) + 0.5 (0.8j)^(n-2)) mu[n-2] = {_1_, 0, -1.64, 0, 1.0496, 0, -0.6717, 0, ...} 4) 2nd order filter -> canonic <-> two delay registers H(z) = [(a+c) + (1+b) z^-1] / [1 - ec z^-1 - ecd z^-2] 5) omega_c = 0.299 pi, Omega_pc = 0.5082 H(z) = 0.3369 . (1+z^-1)/(1-0.3261 z^-1) 6a) Yes (using "normal" ROC) 6b) y[n] = x[n] + 0.5 y[n-1] 6c) Non-stable Other problems: - convolution, deconvolution (final exam) - properties of discrete-time systems (final exam) - FIR filter design using window method - multirate - statements ------------------------------------------------------------ (8) 1. välikoe, 20.10.2003 ------------------------------------------------------------ T-61.246 Digitaalinen signaalinkäsittely ja suodatus T-61.246 Digital Signal Processing and Filtering 1. välikoe 1st MTE 20.10.2003 Some solutions. 1) w = -+ 5pi/6 2) O = oikein = TRUE, V = väärin = F 1:O, 2:V, 3:V, 4:V, 5:V, 6:O 7:O, 8:V, 9:V, 0:O, 1:O, 2:V 3a) y[n] = {-2, _4_, 12, 0, -10, -4} 3b) h2[n] = {_1_, -3, -2} 4b) H(z) = (1 -z^-1) / (1 -0.5 z^-1) 4c) Nolla/Zero z=1, napa/pole z=0.5 4d) HP, stabiili 4e) h[n] = 0.5^n u[n] - 0.5^(n-1) u[n-1] 5a) (B,IV), (C, II), (D, I) 5b) D, help zplane ------------------------------------------------------------ (9) 2. välikoe / Tentti, 8.12.2003 ------------------------------------------------------------ T-61.246 Digitaalinen signaalinkäsittely ja suodatus T-61.246 Digital Signal Processing and Filtering 2.vk / tentti, 8.12.2003 2nd MTE / final exam, 8.12.2003 1) V==väärin==false, O==oikein==true (a) V, N0 = 20 (b) V, rule of lin.conv for lengths: L{y}=L{x}+L{h}-1 does not fit at all (c) V, roots B(z)=0 are zeros... (d) O, symmetric impulse response (e) V, T36 (f) O, T43 2) (a) 0.3 +- 0.9i (b) bandpass/kaistanpäästö, (w ~ 0.4pi, K = 1/10.52) (c) stable/stabiili: |0.3 +- 0.9i| < 1 (d) y[n] = Kx[n] + 0.6 y[n-1] - 0.9y[n-2] (e) h[n] = K (_1_, 0.6, -0.54, -0.864, ... ) (Suljetussa muodossa kompleksisia kertoimia.) 3) (a) 2x3 peaks/piikkiä kyseisillä taajuuksilla (b) f0=4 kHz --> T0 = 0.25 ms (c) piikit: 0 kHz (20), 4 kHz (4, 16). (d) 2x1 piikki 4 kHz 4) N=2, esim. suora muoto II (a+c) + (1-ac^2) z^-1 - abc^2 z^-2 H(z) = --------------------------------------- 1 - c^2 z^-1 - bc^2 z^-2 5) T37. Rajataajuus 2pi/5 (a) piirros ^__ | |___ 0 0.4 1 *pi (b) taulukosta tai integroimalla hi[n] = 2*sinc(2*n/5)/5 = sin(2*pi/5*n)/(pi*n) (c) hs[n] = [0.0935 0.3027 0.4000 0.3027 0.0935] Asteluku N=4 (d) hh[n] = [ 0 0.1514 0.4000 0.1514 0] (Asteluku N=2 ?!) Kohdissa (c) ja (d) ei tarvitse skaalata maksimia ykköseksi. 6) T47. Välivaiheet mukaan! Write down all steps needed. --> y1 + y4 HUOM! Alkuper. tenttipaperissa (tenttitilaisuus): väärä upsämpleri. ATT! Error in the orig. exam paper: wrong upsampling factor. ------------------------------------------------------------ (10) 2. välikoe / Tentti, 10.12.2003 ------------------------------------------------------------ T-61.246 Digitaalinen signaalinkäsittely ja suodatus T-61.246 Digital Signal Processing and Filtering 2.vk / tentti, 10.12.2003 2nd MTE / final exam, 10.12.2003 1) V==väärin==false, O==oikein==true (a) V, N0 = 2 (b) V, molemmissa konvoloitavissa vain pos.arvoja / both x and h >0, so should y>0 (c) O, ylipäästö/HP, z=e^(j*pi)=-1 |H(z=-1)| = 9K = 1 (d) O, h[n] = h(nT) (e) O, s=(1-z^-1)/(1+z^-1), z=-1, p=-9/11 (f) V, noin 100-kertainen, only 100-times 2) (a) navat/poles: {+-0.7, +-0.8j}: Navat pi/2 välein, suurempi vahvistus kohdassa +- pi/2, jossa navat lähempänä yks.ympyrää. / Poles at 0, pi/2, pi, -pi/2, maximum at +-pi/2, where poles closest to unit circle. (b) maksimi pi/2:ssa, vahvistus EI mene nollaan... / max at pi/2, amplification does not vanish to zero... ^ ... |. .. .. .. | :... ...: |_________________> | | | | | 0 pi/2 pi (c) H(z=j) = K (...) = 1 -> K = 0.5364 (d) H(z) = K / (1 + 0.15 z^-2 - 0.3136 z^-4) y[n] = Kx[n] - 0.15 y[n-2] + 0.3136 y[n-4] 3) (a) f0 = 1 kHz, f1=f0, f2=2f0, ... || |||| (b) |||||| 1 6 (c) spektriviivat / peaks -2, -1, 1, 2 kHz (d) A1 = 1, f1 = 1, A2 = 2, f2=2, tai suhteessa cont.time: H(s), H(jw), X(s), X(jw) <--> h(t), h(t), x(t), x(t) discr.time: H(z), H(e^jw), X(z), X(e^jw) <--> h[n], h[n], x[n], x[n] 4) (a) H(z) = (1 - z^-2) / (1 + 0.5z^-1 - 0.5 z^-2) = (1 - z^-1) / (1 - 0.5z^-1) (b) Napa ja nolla samassa kohtassa "p" / Pole and zero at the same place "p": H_e(z) = (1- pz^-1)/(1 - pz^-1) == _1_ Tässä siis H(z) supistuu "yksinkertaisimpaan muotoon" / "Simpliest form" of H(z): H(z) = (1 - z^-1) / (1 - 0.5z^-1) Jäljellä tällöin vain yksi napa ja yksi nolla. / There are only one pole and one zero left. Kanoninen viiveiden suhteen...? / Canonic...? (c) s[n] = 0.5^n u[n], s[10] = 1/1024, s[oo]->0 5) Rajataajuus 3pi/5 (a) piirros ^___ | |__ 0 0.6 1 *pi (b) taulukosta tai integroimalla hi[n] = 3*sinc(3*n/5)/5 = sin(3*pi/5*n)/(pi*n) (c) hs[n] = [-0.0935 0.3027 0.6000 0.3027 -0.0935] Asteluku N=4 (d) hh[n] = [ 0 0.1514 0.6000 0.1514 0] (Asteluku N=2 ?!) Kohdissa (c) ja (d) ei tarvitse skaalata maksimia ykköseksi. 6) (a) H(z^4): L-1 "imagea": ____ ________ ________ ________ ____ \__/ \__/ \__/ \__/ 0 12 24 36 48 kHz Eli haluttiin 0..24 kHz: ____ ________ ____ \__/ \__/ 0 12 24 kHz h[n/4]: L-1=3 nollaa väliin, h_u[0] = h[0], h_u[1] = h_u[2] = h_u[3] = 0, h_u[4] = h[1], h_u[5] = h_u[6] = h_u[7] = 0, h_u[8] = h[2], h_u[9] = 0 h_u[n] ~= {_0.1_, 0, 0, 0, 0.4, 0, 0, 0, 0.6, 0} (b) Anti-imaging filtering = LP, rajataajuus / cut-off freq. 5..7 kHz ------------------------------------------------------------ (11) Kesätentti / Summer exam, 21.6.2004 ------------------------------------------------------------ 1) V-V-V-O-V-O 2a) y[n] = 0.8 x[n] - 0.7 x[n-1] - 0.7 y[n-1] 2b) IIR, 1 2c) H(z) = (0.8 - 0.7 z^-1)/(1 + 0.7 z^-1) 2d) x: -0.7, o: 0.875 2e) HP 3a) T_s = 22,7 us 3b) f = 17400 Hz (aliasing) 4A) direct forms, lattice, ...; parallel, cascade, SOS; quantization noise, ... 4B) H(z) = (1-z^-1)/(1-0.5z^-1), HP: |K H(-1)| = 1 5A) desired ideal h_d[n], window w[n], actual h_t[n]; also in frequency domain; Gibbs, windows,... 5B) L=4 --> 3 "images" in freq.domain, 3 zeros in time domain; anti-imaging filtering ------------------------------------------------------------ (12) 1. välikoe / 1st mid term exam, 18.10.2004 ------------------------------------------------------------ T-61.246 Digitaalinen signaalinkäsittely ja suodatus T-61.246 Digital Signal Processing and Filtering 1. välikoe / 1st MTE 18.10.2004 1. Kts. [T10], Laskennallinen osoittaminen sijoittamalla n:n paikalle n+N, ja sen jälkeen kosinin ylimääräisen osan asettaminen 2pi- monikerraksi. Vastaava t^2 [T10c], kahden kosinin summa [T10d]. Look at [T10], the period by substitution n <- n+N for each cosine. N_0 = k1 N_1 = k2 N_2 = 4 . 6 = 3 . 8 = 24 2. Kts. [T14],[T15], Stabiilisuus- ja kausaalisuusehdot h[n]:n avulla + konvoluutio. Look at [T14],[T15], criteria for stability and causality using h[n] + convolution 2a) {_0_, 3, -2, 1}, {..., 0, 0, 1, -1, 1, _-1_, 1, -1, ...} 2b) ei stabiili / astable 2c) ei kausaalinen / noncausal 2d) y[2004] = 6 3. Kts. / Look at [T28], http://www.cis.hut.fi/Opinnot/T-61.246/Suodin/generateFilter.php?numerator=1+0+-0.64&denumerator=1++-1.4++0.98&G=&type=dfi&luo=Luo+piirrokset+%2F+Create+figures 3a) poles 0.7+-0.7j, zeros +-0.8 3b) bandpass 3c) y[n] = ... 3d) 0.7^2 + 0.7^2 < 1 --> stable 3f) IIR 3g) h[n] = {_1_, 1.4, 0.34, -0.896, ...} 3h) from (c) and (e) 4. Kts. / Look at [T27] B-4, C-2, D-1. ------------------------------------------------------------ (13) 2. välikoe / 2nd mid term exam, 9.12.2004 ------------------------------------------------------------ T-61.246 2. vk / 2nd MTE / tentti /final exam 9.12.2004 Alla joitakin lyhyitä vastauksia / some final solutions T = final exam, VK = MTE2 1) (T) a) N_0 = 24 b) {_0_, 0, 2, -1, -2, 1} c) h[n] = (-0.7)^n mu[n] - (-0.7)^(n-2) mu[n-2] h[5] = 0.1749 2) (T) a) T_s = 1/10000 s b) f = 400 Hz, peaks (400, 9600) c) peaks (400) d) joku mahd. lin.komb. taajuuksista (400, 9600, 10400, ...) 3) (VK), O = true, V = false a) V b) V c) V d) V e) O f) V g) V h) V 4) (T, VK) H_1(z): http://www.cis.hut.fi/Opinnot/T-61.246/Suodin/generateFilter.php?numerator=1++-1.18+1&denumerator=1+1.58+0.64&G=&type=dfi&luo=Luo+piirrokset+%2F+Create+figures a) H_2(z) = H_1(z^2) H_2(z): http://www.cis.hut.fi/Opinnot/T-61.246/Suodin/generateFilter.php?numerator=1++0+-1.18+0+1&denumerator=1+0+1.58+0+0.64&G=&type=dfi&luo=Luo+piirrokset+%2F+Create+figures b) K = 1/H_2(j) ~ 0.019 5) (T, VK), Mitra 7.6, [T45] a) ^______ | | | | ---------------> 0 pi/2 pi b) h_i[n] = sin(0.5pi n)/(pi n) = {-0.106, 0, 0.318, _0.5_, 0.318, 0, -0.106} c) w_H[n] = {0, 0.25 0.75, _1_, 0.75, 0.25, 0} h_FIR[n] = {0, 0, 0.239, _0.5_, 0.239, 0, 0} d) esim. Delta w = 3.11pi/M = 3.11pi/3 => asteluku ei riitä, too small order 6) (T, VK) 6A) Mitra 8.3 6B) Mitra 9.10, [T51] 1 - 2 z^-1 + z^-2 1 + k z^-1 Y(z) = --------------------------- X(z) + ------------------------- E(z) 1 + 1.8 z^-1 + 0.82 z^-2 1 + 1.8 z^-1 + 0.82 z^-2 a) E(z) = 0 => H(z) HP-filter b) E(z) = 1, k=0 => E_tot(z) = E(z) / (1 + 1.8 z^-1 + 0.82 z^-2) c) k=1 ------------------------------------------------------------ (14) 2. välikoe / 2nd mid term exam, 13.12.2004 ------------------------------------------------------------ T-61.246 2. vk / 2nd MTE / tentti /final exam 13.12.2004 Alla joitakin lyhyitä vastauksia / some final solutions T = final exam, VK = MTE2 1) (T) a) N_0 = 24 b) H(z) = (1 - z^-1)^2 => HP c) zeros z = 0.2, poles p = +- 0.8j 2) (T) a) a = 0 (causal), b = 0, c = -1, d = 2, e = 2 b) IIR c) not stable 3) (VK), O = true, V = false a) V b) V c) V d) O e) O f) V g) V h) V 4) (T, VK) Mitra 9.4 H_1(z) = 1 / [ 1 - 2a z^-1 + b z^-2 ] H_2(z) = -b / [ 1 - 2a z^-1 + (a^2 + b^2) z^-2 ] H(z) = 1 + d1 z^-1 + d2 z^-2 = 1 + 2r cos(a) z^-1 + r^2 z^-2 r e^jw = r cos(a) + j r sin(a) = x + yj 5) (T, VK) 16000 -> (7/4) -> 28000 5a) 16000 -> L=7 -> H_LP -> M=4 -> 28000 5b) w_pc = 1/35 pi, w_sc = 33/70 pi 6) (T, VK) 6A) Mitra 8.3 6B) a) H_II(e^jw) = K [ ... + H(j(W+W_T)) + H(jW) + H(j(W-W_T)) + H(j(W-2W_T)) + ... ], imp.invariant, aliasing, zero +oo -> origo b) H_bil(e^jw) bilinear, 1-1-mapping, frequency axis 0..oo -> 0..pi, zero +oo -> -1 ------------------------------------------------------------ (15) Kesätentti / Summer exam 20.6.2005 ------------------------------------------------------------ 1) BCC CBA AAB BBA N = 29 oikein: 28/27/22 16/25/22 19/25/21 15/16/20 2) h[n] = d[n] - 2d[n-1] + d[n-2] http://www.cis.hut.fi/Opinnot/T-61.246/Suodin/generateFilter.php?numerator=1+-2+1&denumerator=1&G=&type=dfi&luo=Luo+piirrokset+%2F+Create+figures 3) Lowpass, K=0.25, N=2 http://www.cis.hut.fi/Opinnot/T-61.246/Suodin/generateFilter.php?numerator=1+2+1&denumerator=1&G=0.25&type=dfi&luo=Luo+piirrokset+%2F+Create+figures 4) h_ideal[n] = {.0935, .3027, .4, .3027, .0935} h_FIR[n] = {.0075, .1635, .4, .1635, .0935} 5) e[n] = y[n] - w[n], w[n] = x[n] - x[n-2] - 0.81 y[n-2] + k e[n-2], ... kts. vastaava esimerkkitehtävä, see corresponding example problem in material