T-61.3010 Digitaalinen signaalinkäsittely ja suodatus
T-61.3010 Digital Signal Processing and Filtering

============================================================
               RATKAISUJA / SOLUTIONS

                       PART 1
============================================================

------------------------------------------------------------
(1) 1. välikoe, 20.10.2001
------------------------------------------------------------

T-61.246 Digitaalinen signaalinkäsittely ja suodatus
1. välikoe, 20.10.2001

1. Väittämät
a) Väärin. Esim. y[n] = (x[n])^3. Huom! LTI = Lineaarinen _ja_
aikainvariantti, ei vain lineaarinen.
b) Väärin. Noilla ehdoilla all-pass, joka harvoin (ei koskaan)
on lineaarivaiheinen.
c) Oikein. Kausaalinen -> oo kuuluu ROC:iin. Navat 
yksikköympyrän sisäpuolella, jolloin yksikköympyrä kuuluu
kausaalisen kanssa samaan ROC:iin.
d) Väärin. H(z) = (1 + 0.5 z^-1 + 0.25 z^-2) / (1 - 0.5 z^-1),
toisen asteen suodin, mutta vain yksi napa origon ulkopuolella.
e) Oikein. Takaisinkytkentä -> IIR.
f) Väärin. Kampasuotimella tehdään kaistanpäästö/estosuotimia.

2. Näytteenotto
a) viiteen sadasosaan mahtuu kolme kosinin jaksoa alkaen -1:stä
b) Kosinipiikki laskostuu 10 Hz:iin.
c) 10 Hz komponentti

3. Toiseen asteen IIR-suodin.
a) y[n] = w[n] - w[n-2]
   w[n] = x[n] - 0.64 w[n-2]
b)            1 - z^-2
   H(z) = ------------------
            1 + 0.64 z^-2
c) z = +- 0.8j, z = +- 1
d) Kaistanpäästö

4. Konvoluutio 
a) L_x + L_h1 - 1 = L_w
   L_w + L_h2 - 1 = L_y
-> L{h1[n]} = 3, L{h2[n]} = 3
b) 
-> h_c[n] = delta[n] - 4delta[n-1] + 5delta[n-2] - 4delta[n-3] + delta[n-4] 
c) 
-> h_1[n] = delta[n] - delta[n-1]  + delta[n-2]
-> h_2[n] = delta[n] - 3delta[n-1] + delta[n-2]
d) H_c(z) = (1 - z^-1 + z^-2)(1 - 3z^-1 +z^-2)
z = 0.5 +- 0.866j, z = 0.382, z = 2.618
Ylipäästösuodin.

------------------------------------------------------------
(2) 2. välikoe, 12.12.2001
------------------------------------------------------------

T-61.246 Digitaalinen signaalinkäsittely ja suodatus
2. välikoe, 12.12.2001

Osallistujia N = 266

Tehtävä 1. Väitteet
a) OIKEIN y[n] = F(x[n] + Gy[n]), jos F:ssä viivettä...
b) OIKEIN h[n] = ha(nT) = ha(n/fs)
c) VÄÄRIN Ei laskostumista
d) VÄÄRIN Gibbs-häiriön pinta-ala pysyy, "taaj.er." paranee
e) VÄÄRIN n. 100-kert
f) VÄÄRIN 2^15, 2^16  != 44100
g) OIKEIN Katkaisu, esim. lähekkäiset spektripiikit
h) OIKEIN me = 0, esim. laskareissa


Tehtävä 2. Näytteenottotaajuus 8 kHz -> 3*8 kHz

a) L=3 -> L-1 = 2 ylimääräistä spektrikuvaa, "image". 
Keskikohdat 0, 8000, 16000, 24000 Hz
(joista siis 8000 ja 16000 ylimääräisiä).

b) Pitää alipäästösuodattaa (interpolation filter)
ylimääräiset komponentit pois. Esim. wc = 4 kHz.


Tehtävä 3. Analysoidaan kukin suodin muodostamalla
siirtofunktio (jos tarpeen). Esim. (c):ssä x tulee 
aina viivästettynä, joten se ei sovi minkään muun kanssa.
Kohdat (d) - (f) ovat suoria muotoja (II ja IIT).
Eli siirtofunktion kertoimet pitäisi löytyä
(IIR-puolessa vastakkaismerkkisinä).

Näin ollen kohta (d) oli sama kuin rinnankytketty (a).


Tehtävä 4. Tuttu laskareista.

a) H_HP(s) = H_LP(Om/s) = s / (s + Om)

b) Merk. A = tan(wT/2) = tan(pi fc/fs) = tan(pi 3200/8000) = tan(0.4 pi)
fc on kulmataajuus, fs näytteenottotaajuus

                             (2/T) (1-z^-1)/(1+z^-1)
  H(z) = H_HP(s)|{s,Om} = ------------------------------------
                          (2/T) (1-z^-1)/(1+z^-1) + (2/T) A 
                   
... ja supistellaan ...

              1 - z^-1
  = 0.245  -----------------
            1 + 0.5096 z^-1


c) Nolla z=1 eli w=0. Napa z=-0.5096
Tästä sitten napanollakuvio.


Tehtävä 5. HUOM! Käsitellään vain napoja, jotka sijaitsevat
kompleksikonjugaattipareina:

(1 - p1 z^-1) (1 - p2 z^-2) = 
1 - (p1+p2) z^-1 + p1p2 z^-2

p1+p2 = ...
p1p2  = ...

Kirjoitetaan molemmista siirtofunktiot H1(z)
ja H2(z). Verrataan sitten, miten navat voivat asettua.
Havaitaan, että eroja on
(Example 9.1, Example 9.2 Mitrassa (2nd Edition)):
ensimmäisessä napoja voi tulla tiheään 
matalille taajuuksille, muttei keskitaajuuksille.
Toisessa taasen "ristikkohila", joka mahdollistaa
tasaisemman napojen sijoittelun taajuudesta riippumatta.

Voi myös alkaa tarkastelemaan kohta kohdalta.


------------------------------------------------------------
(3) Tentti / 2. välikoe, 18.12.2001
------------------------------------------------------------

T-61.246 Digitaalinen signaalinkasittely ja suodatus
Tentti / 2. välikoe, 18.12.2001


1a) y[n] = x[n] + 0.5 x[n-1] - 0.2 y[n-1] + 0.35 y[n-2]
1b) H(z) = (1 + 0.5 z^-1) / (1 + 0.2 z^-1 -0.35 z^-2)
1c) Stabiili napanollakuviotarkastelulla
1d) h[n] = (5/6) (0.5)^n u[n] + (1/6) (-0.7)^n u[n]

2a) kosini -- piikki
2b) T  = 1/6
2c) 12 Hz:n komponentti vierastuu 8 Hz:ksi
2d) Esim. fs suuremmaksi, anti-aliasing

3a) OIKEIN Kts teht. 1
3b) OIKEIN Tyyppi 1, 2, 3, 4 -> h[n] == h[N-n] tms.
3c) VÄÄRIN h[n] = h_a(nT)
3d) VÄÄRIN Omega = tan(omega/2)
3e) OIKEIN yli 10 
3f) VÄÄRIN eri ikkunoilla eri vaikutukset
3g) VÄÄRIN 2^15, 2^16 tasoa tms
3h) VÄÄRIN useita virhelähteitä -> suurempi varianssi

4) a = -1.5, b = 1
stabiilius, taajuuskohdan siirtyminen, suotimen muoto...

5a) Lin.vaih. alipäästös.
5b) Lin.vaih. kaistanestos.
5c) Amplitudivaste "upsampling"-teoriasta tai 
kompleksiluvun neliöjuuresta päättelemällä.

6a) Suorakaideikkuna
H(z) = A [ -0.16 + 0.23z^-1 + 0.75 z^-2 + 0.23 z^-3 - 0.16z^-4 ]
6b) Hann-ikkuna
H(z) = A [ 0.11 + 0.75 z^-1 + 0.11 z^-2 ]
6c) Esim. Gibbs, jyrkkyys, ...

7) Katsotaan kuvaajasta, sijoitetaan X(z), käänteismuunnetaan Y(z) -> y[n].


------------------------------------------------------------
(4) Muunto, 1. välikoe, 12.11.2001
------------------------------------------------------------

T-61.246 Digitaalinen signaalinkasittely ja suodatus
1. välikoe, Muunto, 12.11.2001

1a) VÄÄRIN (stabisuusehto)
1b) VÄÄRIN (jos signaalissa yli 22kHz, niin..)
1c) VÄÄRIN (signaalien kertominen ei ole LTI-operaatio)
1d) VÄÄRIN (lineaarisia ja _aikainvariantteja_ == LTI)
1e) OIKEIN (cos(3.2pi n) = cos(3.2pi n - 4pi n) = cos(-0.8pi n), parill.)
1f) VÄÄRIN
1g) OIKEIN
1h) OIKEIN (moving average)

2) N_1 = 24, N_2 = 16  -> N = 48 = 2*24 = 3*16

3) y[n] = -x[n+1] + x[n-1], lineaar., vakiokert. differenssiyht. == LTI
3a) OK
3b) OK
3c) EI
3d) OK

4b) y[n] = {_0_, -3a, 4a, 0, 0, -a}
4c) 4a = 1, -> a=1/4

5a) y[n] = Kx[n] - 1.2 y[n-1] - 0.72 y[n-2]
5b) H(z) = K/(1 + 1.2 z^-1 + 0.72 z^-2)
5c) Ei nollia, navat: z = -0.6 +- 0.6 j
5d) Vain kaksi napaa, huippu osuu varsin hyvin w=3pi/4, max = H(e^(j 3pi/4))

------------------------------------------------------------
(6) 1. välikoe, 26.10.2002
------------------------------------------------------------

T-61.246 Digitaalinen signaalinkäsittely ja suodatus
T-61.246 Digital Signal Processing and Filtering

1. välikoe, 26.10.2002.
1st mid term exam, 26th October, 2002.

1a) h[n] = (h_1[n] * h_1[n]) * h_2[n]
p[n] = h_1[n] * h_1[n] 
     = delta[n] + 2 delta[n-1] + delta[n-2]
L{h_2} = L{h} - L{p} + 1 = 3
h_2[n] = delta[n] - 2 delta[n-1] + 3 delta[n-2]

1b) y[n] = -2 delta[n+1] + delta[n] - 8 delta[n-2] 
           -2 delta[n-3] + 3 detla[n-4] 

2b) H(z) = (1 + z^-1) / (1 + 2a z^-1 + 2a^2 z^-2)
2c) z = -1, p = -a +- aj
a = 0  -> LP, FIR
a >~ 0 ->  
a <~ 1/sqrt(2) -> max w=3pi/4
a >  1/sqrt(2) -> unstable

3)
 1:O  2:V  3:V  4:V  5:O  6:V
 7:V  8:O  9:V 10:O 11:V 12:O
13:V 14:O 15:O 16:O 17:O 18:O
19:V 20:O 21:V 22:O 23:V 24:V


------------------------------------------------------------
(7) Harj.tentti, 2. välikoe, 3.12.2002 / 5.12.2002
------------------------------------------------------------

T-61.246 Digitaalinen signaalinkäsittely ja suodatus
T-61.246 Digital Signal Processing and Filtering

Harjoitusvälikoe/Tentti
Rehearsal mid term exam/Final exam
3.12.2002 / 5.12.2002
Some solutions. 


1a) x[n]=1, period N=1? non-periodic?
1b) N=6
1c) N=126

2) 20

3a) y[n] = w[n] - w[n-2]
    w[n] = x[n] - 0.64 w[n-2]
3b) H(z) = (1- z^-2)/(1 + 0.64z^-2)
3c) Zeros z=+-1, poles z=+-0.8j, BP
3d) h[n] = (0.5 (-0.8j)^n + 0.5 (0.8j)^n) mu[n] -
           (0.5 (-0.8j)^(n-2) + 0.5 (0.8j)^(n-2)) mu[n-2]
         = {_1_, 0, -1.64, 0, 1.0496, 0, -0.6717, 0, ...}

4) 2nd order filter -> canonic <-> two delay registers
   H(z) = [(a+c) + (1+b) z^-1] / [1 - ec z^-1 - ecd z^-2]

5) omega_c = 0.299 pi, Omega_pc = 0.5082
   H(z) = 0.3369 . (1+z^-1)/(1-0.3261 z^-1)

6a) Yes (using "normal" ROC)
6b) y[n] = x[n] + 0.5 y[n-1]
6c) Non-stable

Other problems:
- convolution, deconvolution (final exam)
- properties of discrete-time systems (final exam)
- FIR filter design using window method
- multirate
- statements

------------------------------------------------------------
(8) 1. välikoe, 20.10.2003
------------------------------------------------------------

T-61.246 Digitaalinen signaalinkäsittely ja suodatus
T-61.246 Digital Signal Processing and Filtering

1. välikoe
1st MTE
20.10.2003
Some solutions. 

1) w = -+ 5pi/6

2) O = oikein = TRUE, V = väärin = F
1:O, 2:V, 3:V, 4:V, 5:V, 6:O
7:O, 8:V, 9:V, 0:O, 1:O, 2:V

3a) y[n] = {-2, _4_, 12, 0, -10, -4}
3b) h2[n] = {_1_, -3, -2}

4b) H(z) = (1 -z^-1) / (1 -0.5 z^-1)
4c) Nolla/Zero z=1, napa/pole z=0.5
4d) HP, stabiili
4e) h[n] = 0.5^n u[n] - 0.5^(n-1) u[n-1]

5a) (B,IV), (C, II), (D, I)
5b) D, help zplane


------------------------------------------------------------
(9) 2. välikoe / Tentti, 8.12.2003
------------------------------------------------------------

T-61.246 Digitaalinen signaalinkäsittely ja suodatus
T-61.246 Digital Signal Processing and Filtering

2.vk / tentti, 8.12.2003
2nd MTE / final exam, 8.12.2003


1)  V==väärin==false, O==oikein==true
(a) V, N0 = 20
(b) V, rule of lin.conv for lengths: L{y}=L{x}+L{h}-1
       does not fit at all
(c) V, roots B(z)=0 are zeros...
(d) O, symmetric impulse response
(e) V, T36
(f) O, T43

2)
(a)  0.3 +- 0.9i
(b)  bandpass/kaistanpäästö, (w ~ 0.4pi, K = 1/10.52)
(c)  stable/stabiili: |0.3 +- 0.9i| < 1
(d)  y[n] = Kx[n] + 0.6 y[n-1] - 0.9y[n-2]
(e)  h[n] = K (_1_, 0.6, -0.54, -0.864, ... )
     (Suljetussa muodossa kompleksisia kertoimia.)

3) 
(a) 2x3 peaks/piikkiä kyseisillä taajuuksilla
(b) f0=4 kHz --> T0 = 0.25 ms
(c) piikit: 0 kHz (20), 4 kHz (4, 16).
(d) 2x1 piikki 4 kHz


4)  N=2, esim. suora muoto II

         (a+c) + (1-ac^2) z^-1 - abc^2 z^-2
H(z) = ---------------------------------------
             1   - c^2 z^-1 -  bc^2 z^-2


5) T37. Rajataajuus 2pi/5
(a)  piirros  ^__
              |  |___
              0 0.4  1 *pi
(b)  taulukosta tai integroimalla
     hi[n] = 2*sinc(2*n/5)/5
           = sin(2*pi/5*n)/(pi*n)
(c)  hs[n] = [0.0935    0.3027    0.4000    0.3027    0.0935]
     Asteluku N=4
(d)  hh[n] = [   0    0.1514    0.4000    0.1514         0]
     (Asteluku N=2 ?!)
Kohdissa (c) ja (d) ei tarvitse skaalata maksimia ykköseksi.


6) T47. Välivaiheet mukaan! Write down all steps needed.
--> y1 + y4
HUOM! Alkuper. tenttipaperissa (tenttitilaisuus): väärä upsämpleri.
ATT! Error in the orig. exam paper: wrong upsampling factor.



------------------------------------------------------------
(10) 2. välikoe / Tentti, 10.12.2003
------------------------------------------------------------

T-61.246 Digitaalinen signaalinkäsittely ja suodatus
T-61.246 Digital Signal Processing and Filtering

2.vk / tentti, 10.12.2003
2nd MTE / final exam, 10.12.2003


1)  V==väärin==false, O==oikein==true
(a) V, N0 = 2
(b) V, molemmissa konvoloitavissa vain pos.arvoja /
       both x and h >0, so should y>0 
(c) O, ylipäästö/HP, z=e^(j*pi)=-1 |H(z=-1)| = 9K = 1
(d) O, h[n] = h(nT)
(e) O, s=(1-z^-1)/(1+z^-1), z=-1, p=-9/11
(f) V, noin 100-kertainen, only 100-times


2)
(a) navat/poles: {+-0.7, +-0.8j}: 
Navat pi/2 välein, suurempi vahvistus kohdassa +- pi/2, jossa 
navat lähempänä yks.ympyrää. / 
Poles at 0, pi/2, pi, -pi/2, maximum at +-pi/2, where
poles closest to unit circle.
(b) maksimi pi/2:ssa, vahvistus EI mene nollaan... /
max at pi/2, amplification does not vanish to zero...

   ^      ...
   |.   ..   ..   ..
   | :...     ...: 
   |_________________>
   |   |   |   |   |
   0     pi/2     pi

(c) H(z=j) = K (...) = 1  
    -> K = 0.5364
(d) H(z) = K / (1 + 0.15 z^-2  - 0.3136 z^-4)
    y[n] = Kx[n] - 0.15 y[n-2] + 0.3136 y[n-4]


3) 
(a) f0 = 1 kHz, f1=f0, f2=2f0, ...
      ||
     ||||
(b) ||||||
    1    6
(c) spektriviivat / peaks -2, -1, 1, 2 kHz
(d) A1 = 1, f1 = 1, A2 = 2, f2=2, tai suhteessa

cont.time: H(s), H(jw), X(s), X(jw) <--> h(t), h(t), x(t), x(t)
discr.time: H(z), H(e^jw), X(z), X(e^jw) <--> h[n], h[n], x[n], x[n]


4) 
(a) H(z) = (1 - z^-2) / (1 + 0.5z^-1 - 0.5 z^-2) 
         = (1 - z^-1) / (1 - 0.5z^-1)
(b) Napa ja nolla samassa kohtassa "p" /
    Pole and zero at the same place "p":
    H_e(z) = (1- pz^-1)/(1 - pz^-1) == _1_
Tässä siis H(z) supistuu "yksinkertaisimpaan muotoon" /
"Simpliest form" of H(z):
    H(z) = (1 - z^-1) / (1 - 0.5z^-1)
Jäljellä tällöin vain yksi napa ja yksi nolla. /
There are only one pole and one zero left.
Kanoninen viiveiden suhteen...? / Canonic...?
(c) s[n] = 0.5^n u[n], s[10] = 1/1024, s[oo]->0


5) Rajataajuus 3pi/5
(a)  piirros  ^___
              |   |__
              0  0.6 1 *pi
(b)  taulukosta tai integroimalla
     hi[n] = 3*sinc(3*n/5)/5
           = sin(3*pi/5*n)/(pi*n)
(c)  hs[n] = [-0.0935    0.3027    0.6000    0.3027   -0.0935]
     Asteluku N=4
(d)  hh[n] = [   0    0.1514    0.6000    0.1514         0]
     (Asteluku N=2 ?!)
Kohdissa (c) ja (d) ei tarvitse skaalata maksimia ykköseksi.


6) 
(a) H(z^4): L-1 "imagea":
    ____    ________    ________    ________    ____
        \__/        \__/        \__/        \__/    
   0           12          24          36          48  kHz

Eli haluttiin 0..24 kHz:
    ____    ________    ____
        \__/        \__/    
   0           12          24 kHz
 

    h[n/4]: L-1=3 nollaa väliin, 
    h_u[0] = h[0],
    h_u[1] = h_u[2] = h_u[3] = 0,
    h_u[4] = h[1],
    h_u[5] = h_u[6] = h_u[7] = 0,
    h_u[8] = h[2],
    h_u[9] = 0
    h_u[n] ~= {_0.1_, 0, 0, 0, 0.4, 0, 0, 0, 0.6, 0}
 
(b) Anti-imaging filtering = LP, 
rajataajuus / cut-off freq. 5..7 kHz


------------------------------------------------------------
(11) Kesätentti / Summer exam, 21.6.2004
------------------------------------------------------------

1) V-V-V-O-V-O

2a) y[n] = 0.8 x[n] - 0.7 x[n-1] - 0.7 y[n-1]
2b) IIR, 1
2c) H(z) = (0.8 - 0.7 z^-1)/(1 + 0.7 z^-1)
2d) x: -0.7, o: 0.875
2e) HP

3a) T_s = 22,7 us
3b) f = 17400 Hz (aliasing)

4A) direct forms, lattice, ...; parallel, cascade, SOS;
quantization noise, ...
4B) H(z) = (1-z^-1)/(1-0.5z^-1), HP: |K H(-1)| = 1

5A) desired ideal h_d[n], window w[n], actual h_t[n];
also in frequency domain; Gibbs, windows,...
5B) L=4 --> 3 "images" in freq.domain, 3 zeros in time domain;
anti-imaging filtering


------------------------------------------------------------
(12) 1. välikoe / 1st mid term exam, 18.10.2004
------------------------------------------------------------

T-61.246 Digitaalinen signaalinkäsittely ja suodatus
T-61.246 Digital Signal Processing and Filtering

1. välikoe / 1st MTE
18.10.2004

1. Kts. [T10], Laskennallinen osoittaminen
sijoittamalla n:n paikalle n+N, ja sen jälkeen
kosinin ylimääräisen osan asettaminen 2pi-
monikerraksi. Vastaava t^2 [T10c],
kahden kosinin summa [T10d].

Look at [T10], the period by substitution
n <- n+N for each cosine.
N_0 = k1 N_1 = k2 N_2 = 4 . 6 = 3 . 8 = 24


2. Kts. [T14],[T15], Stabiilisuus- ja
kausaalisuusehdot h[n]:n avulla + konvoluutio.

Look at [T14],[T15], criteria for stability
and causality using h[n] + convolution

2a) {_0_, 3, -2, 1}, {..., 0, 0, 1, -1, 1, _-1_, 1, -1, ...}
2b) ei stabiili / astable
2c) ei kausaalinen / noncausal
2d) y[2004] = 6


3. Kts. / Look at [T28], 

http://www.cis.hut.fi/Opinnot/T-61.246/Suodin/generateFilter.php?numerator=1+0+-0.64&denumerator=1++-1.4++0.98&G=&type=dfi&luo=Luo+piirrokset+%2F+Create+figures

3a) poles 0.7+-0.7j, zeros +-0.8
3b) bandpass
3c) y[n] = ...
3d) 0.7^2 + 0.7^2 < 1 --> stable
3f) IIR
3g) h[n] = {_1_, 1.4, 0.34, -0.896, ...}
3h) from (c) and (e) 


4. Kts. / Look at [T27]
B-4, C-2, D-1.


------------------------------------------------------------
(13) 2. välikoe / 2nd mid term exam, 9.12.2004
------------------------------------------------------------

T-61.246 2. vk / 2nd MTE / tentti /final exam 9.12.2004

Alla joitakin lyhyitä vastauksia /
some final solutions

T = final exam, VK = MTE2

1) (T)
a) N_0 = 24
b) {_0_, 0, 2, -1, -2, 1}
c) h[n] = (-0.7)^n mu[n] - (-0.7)^(n-2) mu[n-2]
h[5] = 0.1749

2) (T)
a) T_s = 1/10000 s
b) f = 400 Hz, peaks (400, 9600)
c) peaks (400)
d) joku mahd. lin.komb. taajuuksista (400, 9600, 10400, ...)

3) (VK), O = true, V = false
a) V
b) V
c) V
d) V
e) O
f) V
g) V
h) V

4) (T, VK)

H_1(z):
http://www.cis.hut.fi/Opinnot/T-61.246/Suodin/generateFilter.php?numerator=1++-1.18+1&denumerator=1+1.58+0.64&G=&type=dfi&luo=Luo+piirrokset+%2F+Create+figures

a) H_2(z) = H_1(z^2)
H_2(z):
http://www.cis.hut.fi/Opinnot/T-61.246/Suodin/generateFilter.php?numerator=1++0+-1.18+0+1&denumerator=1+0+1.58+0+0.64&G=&type=dfi&luo=Luo+piirrokset+%2F+Create+figures

b) K = 1/H_2(j) ~ 0.019

5) (T, VK), Mitra 7.6, [T45]
a)
    ^______
    |      |
    |      |
   --------------->
    0    pi/2   pi

b) h_i[n] = sin(0.5pi n)/(pi n)
   = {-0.106, 0, 0.318, _0.5_, 0.318, 0, -0.106}
c) w_H[n] = {0, 0.25 0.75, _1_, 0.75, 0.25, 0}
  h_FIR[n] = {0, 0, 0.239, _0.5_, 0.239, 0, 0}
d) esim. Delta w = 3.11pi/M = 3.11pi/3
  => asteluku ei riitä, too small order

6) (T, VK)
6A) Mitra 8.3
6B) Mitra 9.10, [T51]

           1 - 2 z^-1 + z^-2                   1 + k z^-1
Y(z) = --------------------------- X(z) + ------------------------- E(z)
         1 + 1.8 z^-1 + 0.82 z^-2          1 + 1.8 z^-1 + 0.82 z^-2

a) E(z) = 0 => H(z) HP-filter
b) E(z) = 1, k=0 => E_tot(z) = E(z) / (1 + 1.8 z^-1 + 0.82 z^-2)
c) k=1


------------------------------------------------------------
(14) 2. välikoe / 2nd mid term exam, 13.12.2004
------------------------------------------------------------

T-61.246 2. vk / 2nd MTE / tentti /final exam 13.12.2004

Alla joitakin lyhyitä vastauksia /
some final solutions

T = final exam, VK = MTE2

1) (T)
a) N_0 = 24
b) H(z) = (1 - z^-1)^2 => HP
c) zeros z = 0.2, poles p = +- 0.8j

2) (T)
a) a = 0 (causal), b = 0, c = -1, d = 2, e = 2
b) IIR
c) not stable


3) (VK), O = true, V = false
a) V
b) V
c) V
d) O
e) O
f) V
g) V
h) V


4) (T, VK) Mitra 9.4

H_1(z) = 1  / [ 1 - 2a z^-1 + b z^-2 ]
H_2(z) = -b / [ 1 - 2a z^-1 + (a^2 + b^2) z^-2 ]

H(z) = 1 + d1        z^-1 + d2  z^-2 
     = 1 + 2r cos(a) z^-1 + r^2 z^-2
r e^jw = r cos(a) + j r sin(a) = x + yj


5) (T, VK)

16000 -> (7/4) -> 28000
5a) 16000 -> L=7 -> H_LP -> M=4 -> 28000
5b) w_pc = 1/35 pi, w_sc = 33/70 pi


6) (T, VK)
6A) Mitra 8.3
6B) 
a) H_II(e^jw) = 
 K [ ... + H(j(W+W_T)) + H(jW) + H(j(W-W_T)) + H(j(W-2W_T)) + ... ],
 imp.invariant, aliasing, zero +oo -> origo
b) H_bil(e^jw)
 bilinear, 1-1-mapping, frequency axis 0..oo -> 0..pi, zero +oo -> -1

------------------------------------------------------------
(15) Kesätentti / Summer exam 20.6.2005
------------------------------------------------------------

1) BCC CBA AAB BBA
N = 29
oikein: 
28/27/22 16/25/22 19/25/21 15/16/20

2) h[n] = d[n] - 2d[n-1] + d[n-2]

http://www.cis.hut.fi/Opinnot/T-61.246/Suodin/generateFilter.php?numerator=1+-2+1&denumerator=1&G=&type=dfi&luo=Luo+piirrokset+%2F+Create+figures

3) Lowpass, K=0.25, N=2

http://www.cis.hut.fi/Opinnot/T-61.246/Suodin/generateFilter.php?numerator=1+2+1&denumerator=1&G=0.25&type=dfi&luo=Luo+piirrokset+%2F+Create+figures

4) 
h_ideal[n] = {.0935, .3027, .4, .3027, .0935}
h_FIR[n] = {.0075, .1635, .4, .1635, .0935}

5) e[n] = y[n] - w[n],
w[n] = x[n] - x[n-2] - 0.81 y[n-2] + k e[n-2], ...
kts. vastaava esimerkkitehtävä, 
see corresponding example problem in material

