T-61.140 Signaalinkäsittelyjärjestelmät
VK / Tentti, 8.5.2003


Kommentteja:

T1a) Laskemalla tai perustelemalla vakiokertoimiseksi
lineaariseksi differentiaaliyhtälöksi.
b) Impulssivasteen stabiilius SIGMA |h[n]| < oo 
ja kausaalisuus h[n]=0.
c) N0 = 36

T2 a) [1p]
b)   hp[n] = 2 d[n-1] + d[n-2]  [2p]
c)   hc[n] = -d[n] - 2d[n-1] -5d[n-2] - 4d[n-3] - 6d[n-4] [2p]
d)   Konvoluutio, y[n] = -hc[n] -10 hc[n-10 +... [1p]


T3a) V, vaiheinformaatio
b)   V, |e^(-2jw)| == 1
c)   O, == e^(jw)(2 cos(w)), arg{H}=w
d)   O, ___            __, ideaalinen {0 tai 1}
           |__  -> ___|

T4a) H = 1/(1 + 0.9e^-jw) + 1/(1 - 0.9e^-jw)
       ( = 1/(1 - 0.81e^-2jw) )   [1p]
b) Taajuusvasteessa alakerrassa polynomi: takaisinkytketty, 
rekursiivinen, 2.asteen IIR. Impulssivaste siis äärettömän pitkä. [1p]
c) Tuli kaistanesto. [2p]
d) Tarkoitus oli palata aikatasoon ja piirtää
joko kaksi 1.asteen suodinta rinnan tai sitten
yksi toisen asteen suodin käyttäen viiveitä,
vakiolla kertoimista ja signaalien summaamista.
Elementistä (0.9^n) ei tullut pisteitä. [2p]


T5a) Tarkat taajuudet olivat 10 ja 90 Hz,
amplitudeissa joitain eroja. [2p]
b) Näytteenottoteoreeman mukaan. [1p]
c) Tapahtuu vierastumista. [2p]
d) Tässä jäljellä enää matalataajuisia komponentteja. [1p]

T6A) Lukujonossa lasketaan yhteen kaksi viimeisintä. [3p]
Differenssiyhtälön ratkaiseminen yritteillä on pitkälti sama asia 
kuin sen F-muuntaminen, ratkaisu F-tasossa (tässä tulee 
osamurtokehitelmä!), ja paluu takaisin. Taajuusvasteeseen voi 
jättää X(e^jw) termi jäljelle laskujen helpottamiseksi. 
y[2003] ~ 10^418. 

T6B) Suomeksi taajuiskorjain. Selitys, mitä ne tekee,
esimerkiksi kuvien avulla. Rakentaminen LTI-suotimilla
(kaskaadiin/rinnan?!). Kommentteja äänestä. [6p]


T-61.140 Signaalinkäsittelyjärjestelmät
Tentti, 14.5.2003

Kommentteja:

T1a) Jaksollisuus:
x1[n] ei ole jaksollinen, koska n ja N täytyy olla
kokonaisulukuja (indeksinumeroita!)
x2(t) on jaksollinen T0 = 8pi/27
Tässä kannattaa muokata muotoon cos(2 pi f t + v),
josta w = 2 pi f ja T = 1/f.
x3[n] on jaksollinen N0 = 3
      = {..., 0, 1, 1, _0_ , 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, ...}
Tämä oli aika hankala, kannattaa kokeilla "aukaista"
tuo summa(sigma)lauseke!

T1b) Fourier-sarja: w = 2pi f = 2pi/T
x2(t):lle w = 27/4, a_-1 = e^-jpi/6, a_1  = e^jpi/6
x3[n]:lle w = 2pi/3 (eli yhden jakson ajalta w = 2pi/N)
a_0  = 2/3 (keskiarvo!), a_1  = -1/3, a_2  = -1/3

T2 Konvoluutio ja dekonvoluutio
T2a) Suoraan konvoluutiolla annetuilla arvoilla
   y1[n] = {_2_, -1, -1}
Joiltakin oli jäänyt huomaamatta x[0] = 2.

T2b) Voidaan päätellä, että kun x[n] alkaa indeksiarvolla n=0 
ja y[n] alkaa kohdasta n=2, niin h[n] alkaa kohdasta n=2. 
Tällöin h[0]==h[1]==0

T2c) Voidaan ajatella ja laskea monin eri tavoin. Esim.
   y[n] = x[n] * h[n] = x[n] * (h1[n] + h2[n])
        = (x[n] * h1[n]) + (x[n] * h2[n])
Näin saadaan
   h2[n] = {_-1_, 1, 1, 0, 2}

T2d) Ulostulo voidaan laskea nyt konvoluutiolla tai vielä 
yksinkertaisemmin päättelemällä LTI-ominaisuuksiin suoraan perustuen:
Koska x[n] -> y[n], niin yhdellä viivästetty ja (-1):llä 
kerrottu x[n] tuottaa yhdellä viivästetyn ja (-1):llä kerrotun y[n]:n. 
Lopputulos:
   ym[n] = {_0_, 0, 0, -2, -1, -4, -2}

T3a) OIKEIN. arctan(0.5/0.886) = pi/6, eli
arg{X(e^j(pi/6))} = pi/6. Tällöin koska reaalinen
signaali niin arg{X(e^j(-w))} = - arg{X(e^jw)}.

T3b) VÄÄRIN. Laskemalla esim. |H(e^jw)|^2 huomataan,
että se supistuu arvoon 1 eli kyseessä on all-pass-suodin.

T3c) OIKEIN. Askelvasteet s1[n] ja s2[n] saadaan 
kumulatiivisena summana impulssivasteista.
Suodin 1 nousee nollasta maksimiin 10 askeeleessa,
suodin 2 taasen 20:ssa, joten se on hitaampi.

T3d) OIKEIN. Ryhmäviive on siis vaihevasteen derivaatan vastaluku. 
Eli kun vaihevaste on lineaarinen (suotimessa ei tapahdu
vaihevääristymiä), niin silloin sen derivaatta on vakio. 
FIR-suodin on _mahdollista_ tehdä lineaarivaiheiseksi.
Perustelu: Yksinkertaisin esimerkki on kahden pisteen
liikkuva keskiarvoistava suodin
y[n] = x[n] + x[n-1]
josta  impulssivaste h[n] = d[n] + d[n-1]
ja edelleen taajuusvaste
H(e^jw) = 1 + e^-jw = e^-jw/2 (e^jw/2 + e^-jw/2)
        = e^-jw/2 (2 cos(w/2))
josta edelleen vaihevaste arg{H(e^jw} = -w/2
ja vielä ryhmäviive -d/dw (-w/2) = 1/2
Aika harva vastasi tähän kohtaan.

T4a) Takaisinkytkentä = rekursiivinen laskenta = IIR = 
impulssivaste äärettömän pitkä. Suotimen asteluvun
saa esim. taajuusvasteen asteluvusta, joka on tällä kertaa 1.

T4b) Muodostetaan ensin differenssiyhtälö ja sille F-muunnos:
H(e^jw) = 0.8 / (1 + 0.7 e^jw) 
Huomaa, että takaisinkytketyn kertoimen merkki "vaihtui".
Harmittavan monen tenttisuoritus on hilkulla tästä tehtävästä:
siis ensin diffisyhtälö kuvaajasta:
   y[n] = ...
kaikki y:t vasemmalle, kaikki x:t oikealle
   ... = 0.8 x[n]
F-muunnos y->Y, x->X, viiveet->e^-jw
   Y(e^jw) + ...
Sitten vas. yhteiseksi tekijäksi Y(e^jw), oik. X(e^jw)
   Y(e^jw) [  +  ] = ...
Tämän jälkeen molemmat puolet jaetaan X:llä
   Y(e^jw)/X(e^jw) [ + ] = 0.8
ja molemmat puolet jaetaan vasemman puolen termillä,
joka ei ole Y()/X()
   Y(e^jw)/X(e^jw)       = 0.8 / [ + ]
Taajuusvaste on H(e^jw) =  Y(e^jw)/X(e^jw) = 0.8 / (1 + 0.7 e^-jw).

T4c) Jos ei ole graafista laskinta, niin kannattaa taulukoida
w          H(e^jw)            |H(e^jw)|
------------------------------------------
0          0.4706              0.4706
0.25 pi    0.4823 - 0.1597i    0.5080
0.5  pi    0.5369 - 0.3758i    0.6554
0.75 pi    0.8080 - 0.7919i    1.1313
pi         2.6667              2.6667
------------------------------------------
Nyt saadaan ylipäästö,
jonka useimmat huomasivat suoraan jo taajuusvasteen alakerran
kertoimen merkistä. Jos piirrät esim. koneella, niin muista,
että tulkinta tehdään väliltä 0..pi.

T4d) Ensimmäisen asteen suotimen käänteismuunnos löytyy suoraan taukosta:
h[n] = 0.8 . (-0.7)^n u[n]
Huomaa nyt että tulee (-0.7)^n eikä -(0.7)^n, eikä
impulssivasteeseen tule oikealle puolelle mitään x[n]:ä tms.

T5a) fs=12000 Hz, niin Ts = (1/12000)s ~ 0.000 083 s = 83 mikros

T5b) fs/2 = 6 kHz, eli kahdelle korkeimmalle kosinille
käy jotain erikoista... Kosinipiikit peruskaistalla
0..6 kHz (0 .. fs/2) löytyvät kohdista (taajuus,ampl):
(1,4), (2,5), (3,2), (4,3).
Huomaa, että myös taajuus 13 kHz tulee peruskaistalle!
Laskostumisen/vierastumisen voi ajatella taajuustasossa
tai sitten kylmästi aikatasossa kosineita näytteistämällä:
x(t) = cos(2pi 13000 t)
x[n] = x(n/fs) = cos(2pi 13000/12000 n) 
     = cos(2pi 13000/12000 n - 2pi n)
     = cos(2pi 1000 /12000 n)
xr(t) = cos(2pi 1000 t)
Jolloin siis kun fs=12000, niin 13 kHz -> 1 kHz.

c) Antialiasing-suodatus pienentää nyt kahden korkeimman 
komponentin amplitudia. Lisäksi uusi näytteenottotaajuus fs=24 kHz
merkitsee sitä, että vain ylin komponentti vierastuu nyt 
taajuudelle 11 kHz (ei 1 kHz enää, kun näytteenottotaajuus muuttui!!!).

T6A) Kertominen (-1)^n lukujonolla siirtää spektriä pi:n verran. 
Muistetaan myös, että reaalisen sekvenssin F-amplituidspektri on 
2pi-jaksollinen ja symmetrinen y-akselin suhteen. Näin ollen lopputulos:
 ^
 |
 |____        /`.
 |___|_______|____ 
 |   |   |   |   |>
 0     pi/2     pi


T6B) Matlab-harjoituksissa käytiin Image Toolboxin demoa,
jossa "salt&pepper"virhettä suodatettiin alipäästö- ja 
mediaanisuodatuksella. 

Pohditaan, miksi kuvista tuli mediaanioperaation ja keskiarvoistusoperaation 
jälkeen sellaisia kuin tuli: joitakin häiriöitä jäi, toisaalta toisessa
kuvassa virheet "levisivät". Voisiko kuvia vielä parantaa jotenkin viilaamalla
koodia? 

Miten operaatiot suhtautuvat LTI-suotimiin? Keskiarvoistavahan on todettu
useaan otteeseen sellaiseksi alipäästösuotimeksi, mutta voidaanko mediaanin 
laskeminen toteuttaa vakiolla kertoimella, viiveillä ja yhteenlaskulla?